Question

【題目】我國古代數學的許多創新與發展都曾居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例，它的發現比歐洲早五百年左右．

楊輝三角兩腰上的數都是1，其余每個數為它的上方（左右）兩數之和．事實上，這個三角形給出了（n=1，2，3，4，5，6）的展開式（按a的次數由大到小的順序排列）的系數規律. 例如，在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應著展開式中各項的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著展開式中各項的系數，等等．

（1）當n=4時，的展開式中第3項的系數是_________；

（2）人們發現，當n是大于6的自然數時，這個規律依然成立，那么的展開式中各項的系數的和為_________．

Answer 1

【答案】6 128

【解析】

（1）當n=4時，的展開式的系數恰好對應的是第五行的數，根據第五行的數即刻得出答案；

（2）的展開式的系數恰好對應第八行的數，據圖寫出第八行的數求和即可.

解：（1）的展開式的系數恰好對應的是第五行的數，為：1,4,6,4,1，故的展開式中第3項的系數是6；

（2）據題可知第八行的數為：1,7,21,35,35,21,7,1.故的展開式中各項的系數的和為：1+7+21+35+35+21+7+1=128.

故答案為：(1)6;(2)128.