Question

【題目】如圖，是的外接圓，AB為的直徑，在外側作，過點C作于點D，交AB延長線于點P.

（1）求證：PC是的切線；

（2）若，，求的半徑；（用含m的代數式表示）

（3）如圖2，在（2）的條件下，作弦CF平分，交AB于點E，連接BF，且，求線段PE的長.

Answer 1

【答案】：（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接OC，根據平行線的判定可得，從而得出，然后根據切線的判定定理即可證出PC是的切線；

（2）根據直徑所對的圓周角是直角可得：∠ACB=90°，然后根據同角的余角相等相等可得，然后根據銳角三角函數可得，，根據勾股定理可得：，結合已知條件即可求出BC，從而求出AB，即可求出圓的半徑；

（3）連接AF，OC，過C作，根據等腰三角形的判定及性質即可求出AB=10，從而求出BC、OC和AC，利用銳角三角函數即可求出CF，再根據相似三角形的判定及性質可求出EF和CE，從而求出CG、OG，根據射影定理可求出OP，然后根據勾股定理可求出EG，從而求出OE的長，即可求出線段PE的長.

解析：（1）如圖，連接OC

∵，

∴

∴

∴

即PC為的切線；

（2）∵AB為直徑

∴∠ACB=90°

∵∠BCP＋∠ACD=180°－∠ACB=90°

∵∠DAC＋∠ACD=90°

∴

∴

則，

根據勾股定理：

∴

又∵

∴，解得：，

∴，

∴半徑為

（3）如圖，連接AF，OC，過C作

∵，

∴

∴

又∵

∴為等腰直角三角形

∵

∴，

∴，，

如下圖，在中

過B作

∵

∴

又∵，，

∴，

∴

又∵，

∴

∴

∴

即

中，，

解得：CG=4

則在中，，，

根據勾股定理可得：OG=

由射影定理，

∴

又∵，

∴，且

∴

∴