Question

【題目】對于給定的，我們給出如下定義：若點M是邊上的一個定點，且以M為圓心的半圓上的所有點都在的內部或邊上，則稱這樣的半圓為邊上的點M關于的內半圓，并將半徑最大的內半圓稱為點M關于的最大內半圓．若點M是邊上的一個動點（M不與B，C重合），則在所有的點M關于的最大內半圓中，將半徑最大的內半圓稱為關于的內半圓．

（1）在中，，，

①如圖1，點D在邊上，且，直接寫出點D關于的最大內半圓的半徑長；

②如圖2，畫出關于的內半圓，并直接寫出它的半徑長；

（2）在平面直角坐標系中，點E的坐標為，點P在直線上運動（P不與O重合），將關于的內半圓半徑記為R，當時，求點P的橫坐標t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①，②1，作圖見詳解；（2）t≥或.

【解析】

（1）①過點D作DE⊥AC，則以點D為圓心，DE長為半徑的半圓與AC相切，利用等腰直角三角形的性質，即可求解；

②當點D為BC的中點時，以D為圓心，DE為半徑的半圓就是關于的內半圓，進而可求解；

（2）設點P坐標為（t，），分兩種情況分類討論，①點P在第一象限時，②點P在第三象限時，分別求出t的取值范圍，即可.

（1）①如圖1，過點D作DE⊥AC，則以點D為圓心，DE長為半徑的半圓與AC相切，

∴D關于的最大內半圓的半徑長就是DE的長，

∵在中，，，，

∴DE=CD÷=1÷=

②如圖2，當點D為BC的中點時，以D為圓心，DE為半徑的半圓就是關于的內半圓，

∵在中，，，DE⊥AC ，

∴DE∥BA，

∴DE==×2=1；

（2）∵點P在直線上，

∴∠POE=30°

設點P坐標為（t，），

∵點E的坐標為，

∴OE=3，

①若點P在第一象限時，設點M是線段OE上的動點，作MN⊥OP，MG⊥PE，

∵，

∴當R=時，如圖3，則MN=MG=，OM=2×MN==2×=，

∴ME=3-=，

∴OM=ME，

在RtOMN和RtEMG中，

∵

∴RtOMN RtEMG（HL）

∴∠MON=∠MEG=30°，

∴點P的橫坐標t=，

當R=1時，如圖4，則MN=1，OM=2×MN==2×1=2，此時，點P的橫坐標t≥3，

∴t≥時，；

②若點P在第三象限時，作 MG⊥PE，PH⊥x軸，

當R=時，如圖5，則MG=MO=，

∴ME=3-MO=3-=，

∴EG=，

∴tanE=，

∴，

∴，解得：，

∴時，.

綜上所述：t≥或.

圖1 圖2

圖3 圖4

圖5