Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D為AB邊上一點（不與點B重合），連接CD，將線段CD繞點D逆時針旋轉90°，點C的對應點為E，連接BE．若AB＝2，則△BDE面積的最大值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，根據AAS證得△EDN≌△DCM，得出EN＝DM，然后解直角三角形求得AM＝1，得到BM＝3，設BD＝x，則EN＝DM＝3﹣x，根據三角形面積公式得到S△BDE＝＝（3﹣x）＝﹣（x﹣1.5）2+，根據二次函數的性質即可求得．

解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，

∴∠EDN+∠DEN＝90°，

∵∠EDC＝90°，

∴∠EDN+∠CDM＝90°，

∴∠DEN＝∠CDM，

在△EDN和△DCM中

∴△EDN≌△DCM（AAS），

∴EN＝DM，

∵∠BAC＝120°，

∴∠MAC＝60°，

∴∠ACM＝30°，

∴AM＝AC＝2＝1，

∴BM＝AB+AM＝2+1＝3，

設BD＝x，則EN＝DM＝3﹣x，

∴S△BDE＝＝（3﹣x）＝﹣（x﹣1.5）2+，

∴當BD＝1.5時，S△BDE有最大值為，

故答案為．