Question

【題目】如圖，已知過點B（1，0）的直線l1與直線l2：y＝2x+4相交于點P（﹣1，a），l1與y軸交于點C，l2與x軸交于點A．

（1）求a的值及直線l1的解析式．

（2）求四邊形PAOC的面積．

（3）在x軸上方有一動直線平行于x軸，分別與l1，l2交于點M，N，且點M在點N的右側，x軸上是否存在點Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=2，y=﹣x+1；（2）四邊形PAOC的面積為；（3）點Q的坐標為或或（﹣，0）．

【解析】

（1）將點P的坐標代入直線l2解析式，即可得出a的值，然后將點B和點P的坐標代入直線l1的解析式即可得解；

（2）作PE⊥OA于點E，作PF⊥y軸，然后由△PAB和△OBC的面積即可得出四邊形PAOC的面積；

（3）分類討論：①當MN=NQ時，②當MN=MQ時，③當MQ=NQ時，分別根據等腰直角三角形的性質，結合坐標即可得解.

（1）∵y=2x+4過點P（﹣1，a），

∴a=2，

∵直線l1過點B（1，0）和點P（﹣1，2），

設線段BP所表示的函數表達式y=kx+b并解得：

函數的表達式y=﹣x+1；

（2）過點P作PE⊥OA于點E，作PF⊥y軸交y軸于點F，

由（1）知，AB=3，PE=2，OB=1，點C在直線l1上，

∴點C坐標為（0,1），

∴OC=1

則；

（3）存在，理由如下：

假設存在，如圖，設M（1﹣a，a），點N，

①當MN=NQ時，

∴

∴，

②當MN=MQ時，

∴

∴，

③當MQ=NQ時，，

∴，

∴．

綜上，點Q的坐標為：或或（﹣，0）.