Question

【題目】閱讀與計算，請閱讀以下材料，并完成相應的問題．

角平分線分線段成比例定理，如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則．下面是這個定理的部分證明過程．

證明：如圖2，過C作CE∥DA．交BA的延長線于E．…

任務：

（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

（2）如圖3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ABD的周長為．

【解析】

（1）如圖2，過C作CE∥DA．交BA的延長線于E，利用平行線分線段成比例定理得到＝，利用平行線的性質得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有＝；

（2）先利用勾股定理計算出AC=5，再利用（1）中的結論得到＝，即＝，則可計算出BD=，然后利用勾股定理計算出AD=，從而可得到△ABD的周長．

（1）證明：如圖2，過C作CE∥DA．交BA的延長線于E，

∵CE∥AD，

∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，

∵∠1＝∠2，

∴∠ACE＝∠E，

∴AE＝AC，

∴＝；

（2）解：如圖3，在RT中，∠ABC＝90°

∵AB＝3，BC＝4

∴AC＝5，

∵AD平分∠BAC，

∴＝，即＝，

∴BD＝BC＝，

在RT中，∠ABD＝90°

∴AD＝＝＝，

∴△ABD的周長＝+3+＝．