Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+2x+k+1與x軸交與A、B兩點，與y軸交與點C（0，-3）．

（1）求拋物線的對稱軸及k的值；

（2）求拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PA+PC的值最小，求此時點P的坐標；

（3）點M是拋物線上的一動點，且在第三象限．

①當M點運動到何處時，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標．

②當M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=（x+1）2-4，直線x=-1（2）（-1，-2）（3）當點M的坐標為（-，-）時，四邊形AMCB的面積最大，最大值為

【解析】

（1）由拋物線y=x2+2x+k+1與y軸交于點C（0，-3），即可將點C的坐標代入函數解析式，解方程即可求得k的值，由拋物線y=x2+2x+k+1即可求得拋物線的對稱軸為：x=-1；

（2）連接AC交拋物線的對稱軸于點P，則PA+PC的值最小，求得A與C的坐標，設直線AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數法即可求得直線AC的解析式，則可求得此時點P的坐標；

（3）①設點M的坐標為：（x，（x+1）2-4），即可得S△AMB=×4×|（x+1）2-4|，由二次函數的最值問題，即可求得△AMB的最大面積及此時點M的坐標；

②設點M的坐標為：（x，（x+1）2-4），然后過點M作MD⊥AB于D，由S四邊形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD，根據二次函數的最值問題的求解方法，即可求得四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標．

（1）∵拋物線y=x2+2x+k+1與y軸交于點C（0，-3），

∴-3=1+k，

∴k=-4，

∴拋物線的解析式為：y=（x+1）2-4，

∴拋物線的對稱軸為：直線x=-1；

（2）

如圖1，連接AC交拋物線的對稱軸于點P，則PA+PC的值最小，

當y=0時，（x+1）2-4=0，

解得：x=-3或x=1，

∵A在B的左側，

∴A（-3，0），B（1，0），

設直線AC的解析式為：y=kx+b，則

，

解得，

∴直線AC的解析式為：y=-x-3，

當x=-1時，y=-（-1）-3=-2，

∴點P的坐標為：（-1，-2）；

（3）如圖2，點M是拋物線上的一動點，且在第三象限，

∴-3＜x＜0；

①設點M的坐標為：（x，（x+1）2-4），

∵AB=1-（-3）=4，

∴S△AMB=×4×|（x+1）2-4|=2|（x+1）2-4|，

∵點M在第三象限，

∴S△AMB=8-2（x+1）2，

∴當x=-1時，即點M的坐標為（-1，-4）時，△AMB的面積最大，最大值為8；

②設點M的坐標為：（x，（x+1）2-4），

如圖3，過點M作MD⊥AB于D，則

S四邊形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD

=×3×1+×（3+x）×[4-（x+1）2]+×（-x）×[3+4-（x+1）2]

=-（x2+3x-4）

=-（x+）2+，

∴當x=-時，y=（-+1）2-4=-，

即當點M的坐標為（-，-）時，四邊形AMCB的面積最大，最大值為．