Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD＝2 ， AB＝1．將矩形ABCD對折，得到折痕MN；沿著CM折疊，點D的對應點為E，ME與BC的交點為F；再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP，此時點B的對應點為G．下列結論：①△CMP是直角三角形；②點C、E、G不在同一條直線上；③PC＝MP；④BP＝；⑤點F是△CMP外接圓的圓心，其中正確的個數為（　　）

A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據折疊的性質得到∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，于是得到∠PME＋∠CME＝×180°＝90°，求得△CMP是直角三角形；故①正確；根據平角的定義得到點C、E、G在同一條直線上，故②錯誤,AB＝1，則AD＝2，得到DM＝AD＝，根據勾股定理得到CM＝＝，根據射影定理得到CP＝＝，得到PC＝MP，故③錯誤；求得PB＝AB=，故④正確，根據平行線等分線段定理得到CF＝PF，求得點F是△CMP外接圓的圓心，故⑤正確．

解：∵沿著CM折疊，點D的對應點為E，

∴∠DMC＝∠EMC，

∵再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP，

∴∠AMP＝∠EMP，

∵∠AMD＝180°，

∴∠PME＋∠CME＝×180°＝90°，

∴△CMP是直角三角形；故①正確；

∵沿著CM折疊，點D的對應點為E，

∴∠D＝∠MEC＝90°，

∵再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP，

∴∠MEG＝∠A＝90°，

∴∠GEC＝180°，

∴點C、E、G在同一條直線上，故②錯誤；

∵AD＝2AB，

∵AB＝1，則AD＝2，

∵將矩形ABCD對折，得到折痕MN；

∴DM＝AD＝

∴CM＝＝，

∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，

∴CM2＝CNCP，

∴CP＝＝，

∴PN＝CPCN＝

∴PM＝=

∴，

∴PC＝MP，故③錯誤；

∵PC＝AB=，

∴PB＝-=

故④正確，

∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，

∴CE＝EG，

∵∠CEM＝∠G＝90°，

∴FE∥PG，

∴CF＝PF，

∵∠PMC＝90°，

∴CF＝PF＝MF，

∴點F是△CMP外接圓的圓心，故⑤正確；

故選：B．