Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3經過A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C，其頂點為D，連接AD，點P是線段AD上一個動點（不與A，D重合），過點P作y軸的垂線，垂足點為E，連接AE．

（1）求拋物線的函數解析式，并寫出頂點D的坐標；

（2）如果P點的坐標為（x，y），△PAE的面積為S，求S與x之間的函數關系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，D（﹣1，4）；（2）當x=時，S取最大值

【解析】

（1）將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得到關于a、b的方程組，然后求得a、b的值可得到拋物線的解析式，然后利用配方法可求得拋物線的解析式；
（2）先求得直線AD的解析式，然后可得到P（x，2x+6）．接下來依據S=PEyP可得到S與x的函數關系式，然后利用二次函數的性質可求得S的最大值以及此時x的值．

（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經過A（﹣3，0）、B（1，0）兩點

∴，

解得，

∴解析式為y=﹣x2﹣2x+3

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴拋物線頂點坐標D為（﹣1，4）．

（2）設AD為解析式為y=kx+b，且過點A（﹣3，0），D（﹣1，4），

則有，解得

∴AD的解析式為：y=2x+6，

∵P在AD上，

∴P（x，2x+6），

∴S =PEyP=（﹣x）（2x+6）

=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），

當x=時，S取最大值．