Question

【題目】如圖，在□ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點 O ，點 E ， F 分別為 OB ， OD 的中點，延長 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，連接 CG ．

（1）求證： △ABE≌△CDF ；

（2）當 AB 與 AC 滿足什么數量關系時，四邊形 EGCF 是矩形？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）時,四邊形EGCF是矩形，理由見解析.

【解析】

（1）由平行四邊形的性質得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行線的性質得出∠ABE=∠CDF，證出BE=DF，由SAS證明△ABE≌△CDF即可；

（2）證出AB=OA，由等腰三角形的性質得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位線定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四邊形EGCF是平行四邊形，即可得出結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，

∴∠ABE=∠CDF，

∵點E，F分別為OB，OD的中點，

∴BE=OB，DF=OD，

∴BE=DF，

在△ABE和△CDF中，

（2）當AC=2AB時，四邊形EGCF是矩形；理由如下：

∵AC=2OA，AC=2AB，

∴AB=OA，

∵E是OB的中點，

∴AG⊥OB，

∴∠OEG=90°，

同理：CF⊥OD，

∴AG∥CF，

∴EG∥CF，

∵EG=AE，OA=OC，

∴OE是△ACG的中位線，

∴OE∥CG，

∴EF∥CG，

∴四邊形EGCF是平行四邊形，

∵∠OEG=90°，

∴四邊形EGCF是矩形．