Question

【題目】如圖，△ABC和△DEF均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，△DEF的頂點(diǎn)D為△ABC的一邊BC的中點(diǎn)，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，且邊DF,DE始終分別交△ABC的邊AB，AC于點(diǎn)H，G，圖中直線BC兩側(cè)的圖形關(guān)于直線BC成軸對(duì)稱．連結(jié)HH′,HG,GG′,H′G′，其中HH′、GG′分別交BC于點(diǎn)I，J．

（1）求證：△DHB∽△GDC；
（2）設(shè)CG=x，四邊形HH′G′G的面積為y，
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍．
②求當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值為多少？

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠BHD+∠BDH=120°，

在正△DEF中，∠EDF=60°，

∴∠GDC+∠BDH=120°，

∴∠BHD=∠GDC，

∴△DHB∽△GDC

（2）

證明：①∵D為BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD=2，

由△DHB∽△GDC，

∴ ，

即： ，

∴BH= ，

∵H，H′和G，G′關(guān)于BC對(duì)稱，

∴HH′⊥BC，GG′⊥BC，

∴在Rt△BHI中，BI= BH= ，HI= BH= ，

在Rt△CGJ中，CJ= CG= ，GJ= CG= ，

∴HH′=2HI= ，GG’=2GJ= x，IJ=4﹣ ﹣ ，

∴y= （ + x）（4﹣ ﹣ ）

∵邊DF、DE始終分別交△ABC的邊AB、AC于點(diǎn)H、G，

∴當(dāng)△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)H和A重合時(shí)，AG=3，

∴x=CG=1，

當(dāng)點(diǎn)G和A重合時(shí)，CG=4，

∴x=4，

∴1≤x≤4

②由①得，y=﹣ （ +x）2+2 （ +x），

設(shè) =a，得y=﹣ a2+2 a，

當(dāng)a=4時(shí)，y最大=4 ，

此時(shí) =4，解得x=2．

【解析】（1）由等邊三角形的特點(diǎn)得到相等關(guān)系，即可；（2）由相似三角形得到 ，再結(jié)合對(duì)稱，表示出相關(guān)的線段，四邊形HH′G′G的面積為y求出即可．