Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點H．給出下列結論：
①△ABE≌△DCF；② ；③DP2=PHPB；④ ．
其中正確的是 ． （寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：①∵△BPC是等邊三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE與△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
故①正確；
②∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠FCB=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴ = = =tan∠DCF= ，
故②錯誤；
③∵∠FDP=15°，
∴∠PDH=30°
∴∠PDH=∠PCD，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴ = ，
∴DP2=PHCD，
∵PB=CD，
∴DP2=PHPB，
故③正確；
④設正方形ABCD的邊長是3，
∵△BPC為正三角形，
∴∠PBC=60°，PB=BC=AD=3，
∴∠EBA=30°，
∴AE=ABtan30°=3× = ，
BE= = =2 ，
∴EP=BE﹣BP=2 ﹣3，
S△BED=SABD﹣SABE= ×3×3﹣ ×3× = ，
S△EPD= S△BED= × = ，
∴ = = ，
故④錯誤；
∴正確的是①③；
故答案為：①③．
①根據等邊三角形的性質和正方形的性質，得到∠ABE=∠DCF，∠A=∠ADC，AB=CD，證得△ABE≌△DCF，①正確；
②由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得到 = = =tan∠DCF= ，②錯誤；
③由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到 = ，PB=CD，等量代換得到DP2=PHPB，③正確；
④設正方形ABCD的邊長是3，則PB=BC=AD=3，求得∠EBA=30°，得出AE、BE、EP的長，由S△BED=SABD﹣SABE ， S△EPD= S△BED ， 求得 = ，④錯誤；即可得出結論．