Question

【題目】若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們為“友好拋物線”，拋物線C1：y1=﹣2x2+4x+2與C2：u2=﹣x2+mx+n為“友好拋物線”．

（1）求拋物線C2的解析式．
（2）點A是拋物線C2上在第一象限的動點，過A作AQ⊥x軸，Q為垂足，求AQ+OQ的最大值．
（3）設拋物線C2的頂點為C，點B的坐標為（﹣1，4），問在C2的對稱軸上是否存在點M，使線段MB繞點M逆時針旋轉90°得到線段MB′，且點B′恰好落在拋物線C2上？若存在求出點M的坐標，不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣﹣2（x﹣1）2+4，
∴拋物線C1的頂點坐標為（1，4）．
∵拋物線C1：與C2頂點相同，
∴ =1，﹣1+m+n=4．
解得：m=2，n=3．
∴拋物線C2的解析式為u2=﹣x2+2x+3．
（2）解：如圖1所示：

設點A的坐標為（a，﹣a2+2a+3）．
∵AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a，
∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣（a﹣ ）2+ ．
∴當a= 時，AQ+OQ有最大值，最大值為 ．
（3）解：如圖2所示；連接BC，過點B′作B′D⊥CM，垂足為D．

∵B（﹣1，4），C（1，4），拋物線的對稱軸為x=1，
∴BC⊥CM，BC=2．
∵∠BMB′=90°，
∴∠BMC+∠B′MD=90°．
∵B′D⊥MC，
∴∠MB′D+∠B′MD=90°．
∴∠MB′D=∠BMC．
在△BCM和△MDB′中，
，
∴△BCM≌△MDB′
∴BC=MD，CM=B′D．
設點M的坐標為（1，a）．則B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2．
∴點B′的坐標為（a﹣3，a﹣2）．
∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．
整理得：a2﹣7a﹣10=0．
解得a=2，或a=5．
當a=2時，M的坐標為（1，2），
當a=5時，M的坐標為（1，5）．
綜上所述當點M的坐標為（1，2）或（1，5）時，B′恰好落在拋物線C2上．
【解析】解答此題抓住“友好拋物線”滿足的條件是兩條拋物線的頂點相同。
（1）先求出y1頂點坐標，然后依據兩個拋物線的頂點坐標相同可求得m、n的值。
（2） 抓住已知條件AQ⊥x軸，點Q在x軸上，設A（a，-a2+2a+3）．則OQ=a，AQ=-a2+2a+3，然后得到OQ+AQ與a的函數關系式，最后利用配方法可求得OQ+AQ的最值。
（3）連接BC，過點B′作B′D⊥CM，垂足為D．先證明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性質得到BC=MD，CM=B′D，設點M的坐標為（1，a）．則用含a的式子可表示出點B′的坐標，將點B′的坐標代入拋物線的解析式，建立方程可求得a的值，從而得到點M的坐標。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解因式分解法的相關知識，掌握已知未知先分離，因式分解是其次．調整系數等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數，間接配方顯優勢，以及對旋轉的性質的理解，了解①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．