Question

【題目】如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F．

（1）求證：△BDF是等腰三角形；
（2）如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BE，交BC于點(diǎn)G，連接FG交BD于點(diǎn)O．
①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；
②若AB=6，AD=8，求FG的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，根據(jù)折疊，∠DBC=∠DBE，

又AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB，

∴∠DBE=∠ADB，

∴DF=BF，

∴△BDF是等腰三角形；

（2）

解：①∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴FD∥BG，

又∵FD∥BG，

∴四邊形BFDG是平行四邊形，

∵DF=BF，

∴四邊形BFDG是菱形；

②∵AB=6，AD=8，

∴BD=10．

∴OB= BD=5．

假設(shè)DF=BF=x，∴AF=AD﹣DF=8﹣x．

∴在直角△ABF中，AB2+A2=BF2，即62+（8﹣x）2=x2，

解得x= ，

即BF= ，

∴FO= = = ，

∴FG=2FO= ．

【解析】（1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等及折疊特性判斷；（2）①根據(jù)已知矩形性質(zhì)及第一問證得鄰邊相等判斷；②根據(jù)折疊特性設(shè)未知邊，構(gòu)造勾股定理列方程求解．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對角線相等．