Question

19．如圖，點P的坐標為（2，0），點B在直線y=x+m上運動，當線段PB最短時，PB的長度是$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$m．

Answer 1

分析 當線段PB最短時，PB與直線y=x+m垂直，根據解析式即可求得C、D的坐標，然后根據勾股定理求得CD，然后根據三角形相似即可求得PB的最短長度．

解答 解：當線段PB最短時，PB⊥CD，如圖所示：
由直線y=-x+m可知，直線與坐標軸的交點為C（-m，0），D（0，m），
∴OC=m，OD=m，
∴CD=$\sqrt{2}$m，
∵點P的坐標為（2，0），
∴PC=2+m，
∵∠PCB=∠DCO，∠PBC=∠DOC=90°，
∴△PBC∽△DOC，
∴$\frac{PB}{OD}=\frac{PC}{CD}$，即$\frac{PB}{m}=\frac{2+m}{\sqrt{2}m}$，
∴PB=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$m．
故答案為：$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$m．

點評 本題考查了垂線段最短的性質，一次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理的應用，三角形相似的判定和性質，熟知垂線段最短是解題的關鍵．