Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點O在△ABC的內部，⊙O經過B，C兩點，交AB于點D，連接CO并延長交AB于點G，以GD，GC為鄰邊作GDEC．

（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由．

（2）若點B是的中點，⊙O的半徑為2，求的長．

Answer 1

【答案】（1）DE是⊙O的切線，理由見解析；（2）π

【解析】

(1) 連接OD，由題意可得∠ABC＝45°，再結合圓周角定理可得∠COD＝2∠ABC＝90°，再由平行四邊形GDEC可得，∠EDO+∠COD＝180°，即∠EDO=90°，即可完成證明;

(2) 連接OB，可得點B是的中點，進一步說明∠BOC＝∠BOD，在確定∠BOC的度數，最后用弧長公式求解即可·

解：（1）DE是⊙O的切線；理由如下：

連接OD，

∵∠ACB＝90°，CA＝CB，

∴∠ABC＝45°，

∴∠COD＝2∠ABC＝90°，

∵四邊形GDEC是平行四邊形，

∴DE∥CG，

∴∠EDO+∠COD＝180°，

∴∠EDO＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）連接OB，

∵點B是的中點，

∴，

∴∠BOC＝∠BOD，

∵∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，

∴∠BOC==135°

∴的長＝＝π．