Question

【題目】如圖，AB、CB、CD分別與⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．連接OB、OC，延長CO交⊙O于點M，過點M作MN∥OB交CD于N．

（1）當OB＝6cm，OC＝8cm時，求⊙O的半徑；

（2）求證：MN＝NG．

Answer 1

【答案】（1）⊙O的半徑為4.8；（2）見解析.

【解析】

（1）根據切線的性質得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根據平行線的性質得∠GCF+∠EBF=180°，則有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；連接OF，則OF⊥BC，根據勾股定理就可以求出BC的長，然后根據△BOC的面積就可以求出⊙O的半徑；
（2）根據切線的判定和性質定理即可得到結論．

（1）∵AB、BC、CD分別與⊙O切于E、F、G，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB=∠DCB，

又∵AB∥CD，
∴∠GCF+∠EBF=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°；，
連接OF，則OF⊥BC，
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC==10，
∵S△BOC=OBOC=BCOF，
∴6×8=10×OF，
∴OF=4.8，
∴⊙O的半徑為4.8；
（2）證明：∵AB、BC、CD分別與⊙O切于點E、F、G，
∴∠OBC=∠ABC，∠DCB=2∠DCM，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°=90°，
∵MN∥OB，
∴∠NMC=∠BOC=90°，
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半徑，
∴MN是⊙O的切線，
∴MN=NG．