Question

【題目】如圖，已知一次函數y=-x+7與正比例函數y=x的圖像交于點A，且與x軸交于點B.

（1）求點A和點B的坐標；

（2）過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l∥y軸．動點P從點O出發，以每秒1個單位長的速度，沿O—C—A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒.

①當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？

②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B(7,0);（2）①8；②

【解析】

(1)解方程組求圖象交點；（2）結合三角函數，根據等腰三角形判定求出點的坐標.

（1）解：根據題意得,解得 ,

∴A（3,4）

令y=0,得x=7.

∴B（7,0）

（2） 當P在OC上運動時,0≤t＜4

由S△APR=S四邊形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8得t2-8t+12=0,

解得：t=2,t=6(舍)

當點P在CA上運動時, 4≤t＜7

由S△APR==8,得t=3,（舍）

∴當t=2時,以A,P,R為頂點的三角形的面積是8

當P在OC上運動時,0≤t＜4

∴AP=,AQ=(4-t),PQ=7-t,

當AP=AQ時, =(4-t),解得t=1或t=7(舍),

當AP=PQ時, =7-t,解得t=4(舍),

當PQ=AQ時, 7-t=(4-t),解得t=1±(舍),

當點P在CA上運動時, 4≤t＜7,過點A作AD⊥OB于D,則AD=BD=4,

設直線l交AC于E,則QE⊥AC,AE=RD=t-4,AP=7-t

由cos∠OAC=,得AQ=

當AP=AQ時,7-t=,解得t= ,

當PQ=AQ時,AE=PE,即AE=AP,t-4=(7-t),解得t=5,

當AP=PQ時,過點P作PF⊥AQ于F

AF=AQ=×,在Rt△APF中,由cos∠PAF=,得AF=AP,即

×=×（7-t）,解得t=

綜上,當t=1或或5或時,△APQ是等腰三角形.