Question

3．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC的度數是（　　）

• A． 106°
• B． 108°
• C． 110°
• D． 112°

Answer 1

分析 連接OB、OC，根據角平分線的定義求出∠BAO，根據等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得OA=OB，根據等邊對等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判斷出點O是△ABC的外心，根據三角形外心的性質可得OB=OC，再根據等邊對等角求出∠OCB=∠OBC，根據翻折的性質可得OE=CE，然后根據等邊對等角求出∠COE，再利用三角形的內角和定理列式計算即可得解．

解答 解：如圖，連接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO為∠BAC的平分線，
∴∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分線，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO為∠BAC的平分線，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴點O在BC的垂直平分線上，
又∵DO是AB的垂直平分線，
∴點O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵將∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故選B．

點評 本題考查了翻折變換的性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等腰三角形三線合一的性質，等邊對等角的性質，綜合性較強，難度較大，作輔助線，構造出等腰三角形是解題的關鍵．