Question

12．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC是直徑，⊙O的切線PA交CB的延長線于點P，OE∥AC交AB于點F，交PA于點E，連接BE．
（1）判斷BE與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為8，BE=6，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：BE是⊙O的切線．首先證明∠OAP=90°，再證明△EOB≌△EOA，推出∠OBE=∠OAE即可解決問題．
（2）由（1）可知AB=2BF，在Rt△BEO中，∠OBE=90°，OB=8，BE=6，可得OE=$\sqrt{B{E}^{2}+O{B}^{2}}$=10，由$\frac{1}{2}$•BE•OB=$\frac{1}{2}$•OE•BF，可得BF=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{12}{5}$，由此即可解決問題．

解答 解：（1）BE是⊙O的切線．
理由：如圖連接OA．

∵PA是切線，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，
∵BC是直徑，
∴∠BAC=90°，
∵OE∥AC，
∴∠OFB=∠BAC=90°，
∴OE⊥AB，
∴BF=FA，
∵OB=OA，
∴∠EOB=∠EOA，
在△EOB和△EOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{EO=OA}\\{∠EOB=∠EOA}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△EOB≌△EOA，
∴∠OBE=∠OAE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切線．

（2）由（1）可知AB=2BF，
在Rt△BEO中，∵∠OBE=90°，OB=8，BE=6，
∴OE=$\sqrt{B{E}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$•BE•OB=$\frac{1}{2}$•OE•BF，
∴BF=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{12}{5}$，
∴AB=2BF=$\frac{24}{5}$．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識，學會利用面積法求線段的長，屬于中考常考題型．