Question

【題目】下面從認知、延伸、應用三個層面來研究一種幾何模型．

（1）如圖，已知點E是線段BC上一點，若∠AED＝∠B＝∠C．求證 △ABE∽△ECD．

（2）如圖，已知點E、F是線段BC上兩點，AE與DF交于點H，若∠AHD＝∠B＝∠C．

求證：△ABE∽△FCD．

（3）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，點D是上一點，連接BD并延長交AC的延長線于點E；連接CD并延長交AB的延長線于點F. 猜想BF、BC、CE三線段的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)BC2=BF×CE.

【解析】

(1)利用△ABE的外角關系證出∠A=∠DEC，又∠B=∠C，從而△ABE∽△ECD；

(2)利用△ABE和△EFH的外角關系證出∠A=∠DFC，又∠B=∠C，從而△ABE∽△FCD；

(3)由圓的內接四邊形和等邊三角形的性質可知∠BDC=∠CBF=∠ECB=120°，由△CDE的外角關系可得∠E=∠DCB，從而可證△FBC∽△BCE，由相似三角形對應邊成比例得出=，從而得到BC2=BF×CE.

證明：(1)∵∠AEC是△ABE的外角，

∴∠AEC=∠A＋∠B，

又∵∠AEC=∠AED＋∠DEC，

∴∠A＋∠B=∠AED＋∠DEC，

∵∠B=∠AED，

∴∠A=∠DEC，

又∵∠B=∠C，

∴△ABE∽△ECD；

(2)∵∠AEC是△ABE的外角，

∴∠AEC=∠A＋∠B，

∵∠HEC是△EFH的外角，

∴∠AEC=∠HFE＋∠FHE，

∴∠A＋∠B=∠HFE＋∠FHE，

∵∠B=∠AHD，∠AHD=∠FHE，∴∠B=∠FHE，

∴∠A=∠HFE，

∵∠B=∠C，

∴△ABE∽△FCD；

(3)∵四邊形ABDC是⊙O的內接四邊形，

∴∠BDC＋∠A=180°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°，

∴∠BDC=∠CBF=∠ECB=120°，

∵∠FDE是△CDE的外角，

∴∠FDE=∠E＋∠DCE=120°，

∵∠DCB＋∠DCE=120°，

∴∠E=∠DCB，

∴△FBC∽△BCE，

∴=，

∴BC2=BF×CE.

故答案為：(1)見解析;(2)見解析;(3)BC2=BF×CE.