Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作EF⊥AC于點E，交AB延長線于點F．

（1）判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若⊙O半徑為5，CD＝6，求DE的長；

（3）求證：BC2＝4CEAB．

Answer 1

【答案】（1）EF與⊙O相切，見解析；（2）DE＝；（3）見解析

【解析】

（1）連接AD，OD，證明OD是△ABC的中位線，得出OD∥AC．由已知條件證得EF⊥OD，即可得出結論；

（2）根據勾股定理求出AD，再由三角形面積計算即可；

（3）由（1）得CD＝BC，AD⊥BC，證明△CDE∽△CAD，得出，則CD2＝CEAB，即可得出結論．

（1）EF與⊙O相切，理由如下：

連接AD，OD，如圖所示：

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°．

∵AB＝AC，

∴AD⊥BC．

∴CD＝BD＝BC．

∵OA＝OB，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC．

∵EF⊥AC，

∴EF⊥OD．

∴EF與⊙O相切．

（2）解：由（1）知∠ADC＝90°，AC＝AB＝10，

在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝8．

∵SACD＝ADCD＝ACDE，

∴×8×6＝×10×DE．

∴DE＝．

（3）證明：由（1）得：CD＝BC，AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∵EF⊥AC，

∴∠DEC＝90°＝∠ADC，

∵∠C＝∠C，

∴△CDE∽△CAD，

∴,

∴CD2＝CEAC，

∵AB＝AC，

∴BC2＝CEAB，

∴BC2＝4CEAB．