Question

【題目】如圖1，在銳角△ABC中，AB=5，tanC=3，BD⊥AC于點D，BD=3，點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿AB向終點B運動，過點P作PE∥AC交邊BC于點E，以PE為邊作Rt△PEF，使∠EPF=90°，點F在點P的下方，且EF∥AB．設△PEF與△ABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位）（S＞0），點P的運動時間為t（秒）（t＞0）．

（1）直接寫出線段AC的長為 ．

（2）當△PEF與△ABD重疊部分圖形為四邊形時，求S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍．

（3）若邊EF所在直線與邊AC交于點Q，連結PQ，如圖2，

①當PQ將△PEF的面積分成1:2兩部分時，求AP的長．

②直接寫出△ABC的某一頂點到P、Q兩點距離相等時t的值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）當時，；當時，；

（3）① ，； ②，，．

【解析】

（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD．在Rt△BDC中，求出CD即可．

（2）分2種情形求解：如圖1中，當0＜t≤1時，重疊部分是四邊形PMDN．如圖2中，當t＜5時，重疊部分是四邊形PNMF．

（3）①分兩種情形，分別構建方程即可解決問題；

②分三種情形：如圖5中，當PQ的垂直平分線經過當A時．根據PE=PA，可得t=5﹣t解決問題．如圖6中，當PQ的垂直平分線經過點B時，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．在Rt△BQD中，根據BQ2=QD2+BD2，列出方程即可解決問題．如圖7中，當PQ的垂直平分線經過點B時，連接PC，延長PF交AC于G．想辦法證明PA=PC即可解決問題．

（1）在Rt△ABD中，∠BDA=90°，AB=5，BD=3，∴AD4．在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=3，tanc=3，∴CD1，∴AC=AD+CD=4+1=5．

（2）①如圖1中，當0＜t≤1時，重疊部分是四邊形PMDN．

易知PA=t，AMt，PMt，DM=4t，∴St（4t）t2t．

②如圖2中，當t＜5時，重疊部分是四邊形PNMF．

∵AB=5，AC=AD+CD=4+1=5，∴AC=AB，易證PB=PE=5﹣t，PF（5﹣t），PN（5﹣t），S（5﹣t）（5﹣t）（5﹣t）（5﹣t）（5﹣t）2．

∴當時，；當時，；

（3）①如圖3中，PF交AC于G．

當S△PFQ：S△PEQ=1：2時，∴S△PEQ：S△PEF=2：3，∴PEPG：PEPF=2：3，∴PG：PF=2：3，∴t：（5﹣t）=2：3，∴t，即AP．

如圖4．

當S△PFQ：S△PEQ=2：1時，∴S△PEQ：S△PEF=1：3，∴PEPG：PEPF=1：3，∴PG：PF=1：3，∴t：（5﹣t）=1：3，∴t，即AP．

綜上所述：AP的值為或．

②如圖5中，當PQ的垂直平分線經過當A時．

易知四邊形APEQ時菱形，∴PE=PA，即t=5﹣t，∴t．

如圖6中，當PQ的垂直平分線經過點B時，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．

易知四邊形PENG時矩形，四邊形DMEN時矩形，∴PG=ENt，EM=DN=PE﹣PM（5﹣t），QNENt，∴QD=4﹣（5﹣t）=t﹣1．在Rt△BQD中，∵BQ2=QD2+BD2，∴（5﹣t）2=32+（t﹣1）2，∴/span>t．

如圖7中，當PQ的垂直平分線經過點B時，連接PC，延長PF交AC于G．

∵PB=PE=5﹣t，PF（5﹣t），PGt，CG=5t，∴FG=PG﹣PFt（5﹣t）t，∴GQFGt﹣5，∴CP=CQ=GQ+CGt﹣5+5t=t，∴PA=PC．

∵PG⊥AC，∴AG=CG，∴t=PAAG．

綜上所述：ts或s或s時，PQ的垂直平分線經過△ABC的頂點．