Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c過原點O和B（﹣4，4），且對稱軸為直線x=．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）D是直線OB下方拋物線上的一動點，連接OD，BD，在點D運動過程中，當△OBD面積最大時，求點D的坐標和△OBD的最大面積；

（3）如圖2，若點P為平面內一點，點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，直接寫出滿足△POD∽△NOB的點P坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+3x，（2）當m=﹣2時，S△BOD有最大值，最大值為8，此時D點坐標為（﹣2，﹣2）；（3）P點坐標為（，﹣）或（﹣，）．

【解析】

根據條件運用待定系數法就可求出拋物線的解析式．

過D點作DC∥y軸交OB于C，再設點D（m，m2+3m）（﹣4＜m＜0），則C（m，﹣m），再利用三角形面積公式計算化簡S△BOD=﹣2（m+2）2+8即可求出結果.

作BK⊥y軸于K，BI⊥x軸于I，BN交y軸于M點，易得四邊形BIOK為正方形，再利用全等三角判定定理得出Rt△BIA≌Rt△BKM，列出方程組和利用（2）的條件進行討論即可求解.

解：（1）∵拋物線對稱軸為直線x=．

∴A（﹣3，0），

設拋物線解析式為y=ax（x+3），

把B（﹣4，4）代入得a（﹣4）（﹣4+3）=4，解得a=1，

∴拋物線解析式為y=x（x+3），即y=x2+3x，

（2）過D點作DC∥y軸交OB于C，如圖1，

直線OB的解析式為y=﹣x，

設D（m，m2+3m）（﹣4＜m＜0），則C（m，﹣m），

∴DC=﹣m﹣（m2+3m）=﹣m2﹣4m，

∴S△BOD=S△BCD+S△OCD=4DC=﹣2m2﹣8m=﹣2（m+2）2+8，

當m=﹣2時，S△BOD有最大值，最大值為8，此時D點坐標為（﹣2，﹣2）；

（3）作BK⊥y軸于K，BI⊥x軸于I，BN交y軸于M點，如圖2，

易得四邊形BIOK為正方形，

∵∠NBO=∠ABO，

∴∠IBA=∠KBM，

而BI=KM，

∴Rt△BIA≌Rt△BKM，

∴KM=AI=1，

∴M（0，3），

設直線BN的解析式為y=px+q，

把B（﹣4，4），M（0，3）代入得，解得，

∴直線BN的解析式為y=﹣x+3，

解方程組得或，

∴N（，），

∵OB=4，OD=2，

∴=，

∴△POD與△NOB的相似比為1：2，

過OB的中點E作EF∥BN交ON于F，如圖2，

∴△FOE∽△NOB，它們的相似比為1：2，

∴F點為ON的中點，

∴F（，），

∵點E與點D關于x軸對稱，

∴點P′與點F關于x軸對稱時，△P′OD≌△FOE，則△P′OD∽△NOB，此時P′（，﹣）；

作P′點關于OD的對稱點P″，則△P″OD≌△P′OD，則△P″OD∽△NOB，此時P″（﹣，），

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（，﹣）或（﹣，）．