Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，點D為直線BC上一個動點（不與B，C重合），連結AD．將線段AD繞點D按順吋針方向旋轉90°得到線段DE，連結EC．

（1）如圖1，點D在線段BC上，依題意畫圖得到圖2．

①求證：∠BAD＝∠EDC；

②方方同學通過觀察、測量得出結論：在點D運動的過程中，總有∠DCE＝135°．方方的主要思路有以下幾個：

思路一：在AB上取一點F使得BF＝BD，要證∠DCE＝135°，只需證△ADF≌△DEC．

思路二：以點D為圓心，DC為半徑畫弧交AC于點F，要證∠DCE＝135°，只需證△AFD≌△ECD．

思路三：過點E作BC所在直線的垂線段EF，要證∠DCE＝135°，只需證EF＝CF．

……

請你參考井選擇其中一個思路，證明∠DCE＝135°；

（2）如果點D在線段CB的延長線上運動，利用圖3畫圖分析，∠DCE的度數還是確定的值嗎？如果是，請寫出∠DCE的度數并說明理由；如果不是，也請說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）∠DCE＝45°，理由見解析

【解析】

（1）①根據余角的性質得到結論；②證法1：如圖1，在AB上取點F，使得BF＝BD，連接DF，根據等腰直角三角形的性質得到∠BFD＝45°，根據全等三角形的性質得到∠DCE＝∠AFD＝135°；證法2：以D為圓心，DC為半徑作弧交AC于點F，連接DF，根據全等三角形的性質即可得到結論；證法3：過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F，根據全等三角形的性質即可得到結論；

（2）過E作EF⊥DC于F，根據全等三角形的性質得到DB＝EF，AB＝DF＝BC，根據線段的和差得到FC＝EF，于是得到結論．

解：（1）①證明：∵∠B＝90°，

∴∠BAD+∠BDA＝90°，

∵∠ADE＝90°，點D在線段BC上，

∴∠BAD+∠EDC＝90°，

∴∠BAD＝∠EDC；

②證法1：如圖1，在AB上取點F，使得BF＝BD，連接DF，

∵BF＝BD，∠B＝90°，

∴∠BFD＝45°，

∴∠AFD＝135°，

∵BA＝BC，

∴AF＝CD，

在△ADF和△DEC中，，

∴△ADF≌△DEC，（SAS），

∴∠DCE＝∠AFD＝135°；

證法2：如圖2，以D為圓心，DC為半徑作弧交AC于點F，連接DF，

∴DC＝DF，∠DFC＝∠DCF，

∵∠B＝90°，AB＝BC，

∴∠ACB＝45°，∠DFC＝45°，

∴∠DFC＝90°，∠AFD＝135°，

∵∠ADE＝∠FDC＝90°，

∴∠ADF＝∠EDC，

在△ADF≌△CDE中，，

∴△ADF≌△CDE，（SAS），

∴∠AFD＝∠DCE＝135°；

證法3：如圖3，過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F，

∴∠EFD＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠EFD＝∠B，

在△ABD和△DFE中，，

∴△ABD≌△DFE，（AAS），

∴AB＝DF，BD＝EF，

∵AB＝BC，

∴BC＝DF，BC﹣DC＝DF﹣DC，

即BD＝CF，

∴EF＝CF，

∵∠EFC＝90°，

∴∠ECF＝45°，∠DCE＝135°；

（2）解：∠DCE＝45°，

理由：如圖4，過E作EF⊥DC于F，

∵∠ABD＝90°，

∴∠EDF＝∠DAB＝90°﹣∠ADB，

在△ABD和△DFE中，，

∴△ABD≌△DFE，（AAS），

∴DB＝EF，AB＝DF＝BC，

∴BC﹣BF＝DF﹣BF，

即FC＝DB，

∴FC＝EF，

∴∠DCE＝45°．