Question

5．已知拋物線C：y=ax²+bx+6的頂點為M，且經過點A（1，0），對稱軸為直線x=2．
（1）求拋物線的解析式及頂點M的坐標；
（2）將拋物線C繞著x軸上的一點P旋轉180°得到拋物線C′，且點M的對應點記為點M′，點A的對應點記為點A′，若四邊形AM′A′M的面積為16，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數對稱性可求出點A（1，0）關于對稱軸直線x=2的對稱點為（3，0），然后把（1，0），（3，0）代入y=ax²+bx+6即可求出答案．
（2）設P（t，0），根據題意，PA=PA′=|t-1|，M′的縱坐標為2，由四邊形AM′A′M的面積=4×$\frac{1}{2}$×|t-1|×2=16，即可求得．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+6的對稱軸為x=2，
∴根據二次函數的對稱性得：點A（1，0）的對稱點為（3，0），
把兩點代入得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+6=0}\\{9a+3b+6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為y=2x²-8x+6，
∵y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2，
∴頂點M的坐標為（2，-2）．
（2）設P（t，0），
根據題意，PA=PA′=|t-1|，M′的縱坐標為2，
∵四邊形AM′A′M的面積為16，
∴4×$\frac{1}{2}$×|t-1|×2=16，
解得t=5或-3，
∴點P的坐標為（5，0）或（-3，0）．

點評 本題主要考查了待定系數法求二次函數的解析式以及二次函數圖象與幾何變換，求出點A關于對稱軸的對稱點和熟練掌握旋轉的性質是本題的關鍵．