Question

4．如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=2，AB=CD=10，在矩形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度數；
（2）當折痕MN與對角線AC重合時，試求△MNK的面積；
（3）△MNK的面積能否小于2？若能，求出此時∠1的度數；若不能，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據矩形的性質和折疊的性質求出∠KNM，∠KMN的度數，根據三角形內角和即可求解；
（2）當折痕MN與對角線AC重合時，此時△AKC為等腰三角形，設MK=AK=CK=x，則DK=10-x，在Rt△ADK中，根據勾股定理得：AD²+DK²=AK²，即2²+（10-x）²=x²，求得x=5.2，所以MK=AK=CK=5.2，根據三角形面積公式即可解答；
（3）不能，過M點作ME⊥DN，垂足為E，通過證明NK≥2，由三角形面積公式可得△MNK的面積不可能小于2．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1，
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN，
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=70°，
∴∠MKN=40°；

（2）如圖1，

折痕即為AC，此時△AKC為等腰三角形，
設MK=AK=CK=x，則DK=10-x，
在Rt△ADK中，根據勾股定理得：AD²+DK²=AK²，
即2²+（10-x）²=x²，
解得：x=2.6，
∴MK=AK=CK=5.2，S_△MNK=S_△ACK=$\frac{1}{2}$×2×5.2=5.2，
∴△MNK的面積的為5.2；

（3）不能，如圖2，

理由如下：過M點作AE⊥DN，垂足為點E，則ME=AD=2，
由（1）知，∠KNM=∠KMN，
∴MK=NK，
又∵MK≥ME，ME=AD=2，
∴MK≥2，
又∵S_△MNK=$\frac{1}{2}$NK•ME≥2，
即△MNK面積的最小值為2，
∴△MNK的面積不能小于2．

點評 本題主要考查了翻折變換的性質、勾股定理，解決本題的關鍵是利用翻折變換的性質得到相等的角，掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想．