Question

如圖，直線與拋物線相交于A，B兩點，與x軸正半軸相交于點D，與y軸相交于點C，設△OCD的面積為S，且。
（1）求b的值；
（2）求證：點在反比例函數的圖象上；
（3）求證：。

Answer 1

（1）
（2）把直線解析式化為，代入得到關于y的一元二次方程，根據一元二次方程根與系數的關系，得到，從而點在反比例函數的圖象上。
（3）首先根據勾股定理和逆定理證明△OAB是直角三角形，從而得到△AEO∽△OFB，得比例式即可得證。

分析：（1）由直線與x軸正半軸相交于點D，與y軸相交于點C，求出OC，OD，從而根據已知列式求解即可。
（2）把直線解析式化為，代入得到關于y的一元二次方程，根據一元二次方程根與系數的關系，得到，從而點在反比例函數的圖象上。
（3）首先根據勾股定理和逆定理證明△OAB是直角三角形，從而得到△AEO∽△OFB，得比例式即可得證。
解：（1）∵直線與x軸正半軸相交于點D，與y軸相交于點C，
∴令x=0，得；令y=0，得。∴OC=，OD=。
∴△OCD的面積。
∵，∴，解得。
∵ ，∴。
（2）證明：由（1），直線解析式為，即，代入，得，
整理，得。
∵直線與拋物線相交于A，B，
∴，是方程的兩個根。
∴根據一元二次方程根與系數的關系，得。
∴點在反比例函數的圖象上。
（3）證明：由勾股定理，得，
由（2）得。
同理，將代入，
得，即，
∴。
∴。
又，∴。
∴△OAB是直角三角形，即∠AOB=90⁰。
如圖，過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，

∵∠AOB=90⁰，
∴∠AOE=90⁰-∠BOF=∠OBF。
又∵∠AEO =∠OFB=90⁰，
∴△AEO∽△OFB。∴。
∵OE=，BF=，∴。
∴。