Question

17．如圖1，若直線y=2x+4交x軸于點A，交y軸于點B，將△COD繞點O逆時針轉90°得到△COD，過A，B，D的拋物線h：y=ax²+bx+c．
（1）求拋物線h的表達式；
（2）若與y軸平行的直線m以1秒鐘一個單位長的速度從y軸向左平移，交線段CD于點M，交拋物線于h點N，求線段MN的最大值；
（3）如圖2，點E為拋物線h的頂點，點P是拋物線h在第二象限上一動點（不與點D，B重合）．連接PE，以PE為邊作圖示一側的正方形PEFG，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變，當頂點F或G恰好落在y軸上時，直接寫出對應的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據直線解析式求得點A、B坐標，繼而根據旋轉可知點C、D坐標，最后待定系數法求解可得；
（2）先求出CD所在直線解析式，根據題意設點M的坐標為（m，$\frac{1}{2}$m+2），則點N的坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m²-m+4）從而得出線段MN的長度l可表示為l=-$\frac{1}{2}$m²-m+4-（$\frac{1}{2}$m+2），利用二次函數的性質即可得；
（3）求得拋物線的頂點式得出頂點E的坐標，設點P坐標為（x，-$\frac{1}{2}$x²-x+4），分點F在y軸上和點G在y軸上兩種情況，利用正方形的性質構建全等的直角三角形，根據對應邊相等得出關于x的方程，解之可得．

解答 解：（1）直線y=-2x+4中，當x=0時，y=4；當y=0時，x=2，
∴點A（2，0）、B（0，4），
由題意知，點C的坐標為（0，2）、點D坐標為（-4，0），
將點A、D坐標分別代入拋物線解析式，得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+4=0}\\{16a-4b+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線h的表達式為y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4；

（2）設CD所在直線解析式為y=kx+b，
將點C、D坐標代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，
設點M的坐標為（m，$\frac{1}{2}$m+2），
則點N的坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m²-m+4），
∴線段MN的長度l可表示為l=-$\frac{1}{2}$m²-m+4-（$\frac{1}{2}$m+2），
整理得：l=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2=-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
當m=-$\frac{3}{2}$時，線段MN的長度最大值為$\frac{25}{8}$；

（3）∵y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{9}{2}$，
∴拋物線的頂點E的坐標為（-1，$\frac{9}{2}$），
設點P坐標為（x，-$\frac{1}{2}$x²-x+4）
①當點F在y軸上時，如圖1，過點E作直線MN∥x軸，交y軸于點N，過點P作PM⊥MN，

則∠PME=∠ENB=90°，
∴∠MPE+∠MEP=90°，
∵四邊形AEFG是正方形，
∴∠PEF=90°，PE=EF，
∴∠MEP+∠NEF=90°，
∴∠MPE=∠NEF，
在△PME和△ENB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠PME=∠ENB}\\{∠MPE=∠NEF}\\{PE=EF}\end{array}\right.$，
∴△PME≌△ENB，
∴PM=EN，即$\frac{9}{2}$-（-$\frac{1}{2}$x²-x+4）=1，
解得：x=-1$±\sqrt{2}$，
當x=-1+$\sqrt{2}$時，y=$\frac{7}{2}$，
當x=-1-$\sqrt{2}$時，y=$\frac{7}{2}$，
∴點P的坐標為（-1+$\sqrt{2}$，$\frac{7}{2}$）或（-1-$\sqrt{2}$，$\frac{7}{2}$）（此時點P不在第二象限，舍去）；
②當點G在y軸上時，如圖2，過點P作MN∥y軸，過點E作EM⊥MN，作GN⊥MN，

則∠EMP=∠PNG=90°，
∴∠MPE+∠MEP=90°，
∵四邊形PEFG是矩形，
∴∠EPG=90°，PE=EG，
∴∠MPE+∠GPN=90°，
∴∠MEP=∠GPN，
在△MPE和△NGP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠MEP=∠GPN}\\{∠EMP=∠PNG}\\{PE=GP}\end{array}\right.$，
∴△MPE≌△NGP，
∴PM=GN，即$\frac{9}{2}$-（-$\frac{1}{2}$x²-x+4）=-x，
解得：x=-2$±\sqrt{3}$，
當x=-2+$\sqrt{3}$時，y=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$，即點P坐標為（-2+$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$）；
當x=-2-$\sqrt{3}$時，y=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$，即點P坐標為（-2-$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$-$\sqrt{3}$）；
綜上，點P的坐標為（-1+$\sqrt{2}$，$\frac{7}{2}$）、（-2+$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$）、（-2-$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$-$\sqrt{3}$）．

點評 本題主要考查二次函數的綜合運用，根據題意構建全等的直角三角形是解題的關鍵．