Question

【題目】在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD與高BE的交點．

（1）求證：△ADC≌△BDF．

（2）連接CF，若CD＝4，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】

（1）先證明AD＝BD，再證明∠FBD＝∠DAC，從而利用ASA證明△BDF≌△ADC；

（2）利用全等三角形對應邊相等得出DF＝CD＝4，根據勾股定理求出CF即可．

（1）證明：∵AD⊥BC，

∴∠FDB＝∠ADC＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠BAD＝45°＝∠ABD，

∴AD＝BD，

∵BE⊥AC，

∴∠AEF＝∠FDB＝90°，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴由三角形內角和定理得：∠CAD＝∠FBD，

在△ADC和△BDE中

∴△ADC≌△BDE（ASA）；

（2）解：∵△ADC≌△BDE，CD＝4，

∴DF＝CD＝4，

在Rt△FDC中，由勾股定理得：CF＝＝＝4．