Question

【題目】如圖，已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，過點A作⊙O的切線交OC的延長線于點D，交BC的延長線于點E．

（1）求證：∠DAC=∠DCE；

（2）若AB=2，sin∠D=，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由切線的性質可知∠DAB=90°，由直角所對的圓周為90°可知∠ACB=90°，根據同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性質可知∠B=∠OCB，由對頂角的性質可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；

（2）題意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DEAD，故此可求得DE=，于是可求得AE=．

試題解析：（1）∵AD是圓O的切線，∴∠DAB=90°．

∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°．

∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B．

∵OC=OB，∴∠B=∠OCB．

又∵∠DCE=∠OCB，∴∠DAC=∠DCE．

（2）∵AB=2，∴AO=1．

∵sin∠D=，∴OD=3，DC=2．

在Rt△DAO中，由勾股定理得AD==．

∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA，∴，即．

解得：DE=，∴AE=AD﹣DE=．