Question

已知：如圖，BD是半圓O的直徑，A是BD延長線上的一點，BC⊥AE，交AE的延長線于點C，交半圓O于點E，且E為的中點．

(1)求證：AC是半圓O的切線；
(2)若AD=6，AE=6，求BC的長．

Answer 1

(1)可證明∠AEO=∠C=90°．即DE⊥AC．又OE為半圓O的半徑，
∴AC是半圓O的切線．(2)BC=4．

試題分析：解：(1)連接OE。

∵E為的中點，
∴=．
∴∠OBE=∠CBE．
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠OBE．
∴∠OEB=∠CBE．
∴OE∥BC．
∵BC⊥AC，∴∠C=90°.
∴∠AEO=∠C=90°．即DE⊥AC．
又OE為半圓O的半徑，
∴AC是半圓O的切線．
(2)設⊙O的半徑為x
∵OE⊥AC，
∴(x+6)²-(6)²=x²．
∴x=3．
∴AB=AD+OD+OB=12．
∵OE∥BC，
∴△AOE～△ABC．
∴=
即=
∴BC=4．。
點評：本題難度較低，主要考查學生對圓的切線性質與相似三角形知識點的掌握。為中考�？碱}型，要求學生牢固掌握。