Question

15．某公司購進某種水果的成本為20元/千克，經過市場調研發現，這種水果在未來48天的銷售價格p（元/千克）與時間t（天）之間的函數關系式為
p=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}t+30（1≤t≤24，t為整數）}\\{-\frac{1}{2}t+48（25≤t≤48，t為整數）}\end{array}\right.$，且其日銷售量y（千克）與時間t（天）的關系如下表：

時間t/天	1	3	6	10	20	40	…
日銷售量y/千克	118	114	108	100	80	40	…

（1）已知y與t之間的變化規律符合一次函數關系，試求在第30天的日銷售量是多少？
（2）問哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少？
（3）在實際銷售的前24天中，公司決定每銷售1千克水果就捐贈n元利潤（n＜9）給“精準扶貧”對象．現發現：在前24天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設y=kt+b，利用待定系數法即可解決問題．
（2）日利潤=日銷售量×每公斤利潤，據此分別表示前24天和后24天的日利潤，根據函數性質求最大值后比較得結論．
（3）列式表示前24天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據函數性質求n的取值范圍．

解答 解：（1）設y=kt+b，把t=1，y=118；t=3，y=114代入得到：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=118}\\{3k+b=114}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=120}\end{array}\right.$，
∴y=-2t+120．
將t=30代入上式，得：y=-2×30+120=60．
所以在第30天的日銷售量是60kg．

（2）設第x天的銷售利潤為w元．
當1≤t≤24時，由題意w=（-2t+120）（$\frac{1}{4}$t+30-20）=-$\frac{1}{2}$（t-10）²+1250，
∴t=10時 w最大值為1250元．
當25≤t≤48時，w=（-2t+120）（-$\frac{1}{2}$t+48-20）=t²-116t+3360，
∵對稱軸t=58，a=1＞0，
∴在對稱軸左側w隨x增大而減小，
∴t=25時，w最大值=1085，
綜上所述第10天利潤最大，最大利潤為1250元．

（3）設每天扣除捐贈后的日銷售利潤為m元．
由題意m=（-2t+120）（$\frac{1}{4}$t+30-20）-（-2t+120）n=-$\frac{1}{2}$t²+（10+2n）t+1200-120n，
∵在前24天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，
∴-$\frac{10+2n}{2×（-\frac{1}{2}）}$＞23.5，
∴n＞6.75．
又∵n＜9，
∴n的取值范圍為6.75＜n＜9．

點評 此題主要考查了二次函數的應用，熟練掌握各函數的性質和圖象特征，針對所給條件作出初步判斷后需驗證其正確性，最值問題需由函數的性質求解時，正確表達關系式是關鍵．