Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+ax﹣12a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，點M是第二象限內拋物線上一點，BM交y軸于N．

（1）求點A、B的坐標；

（2）若BN=MN，且S△MBC=，求a的值；

（3）若∠BMC=2∠ABM，求的值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣4，0），B（3，0）；（2）；（3）.

【解析】

（1）設y=0，可求x的值，即求A，B的坐標；

（2）作MD⊥x軸，由CO∥MD可得OD=3，把x=-3代入解析式可得M點坐標，可得ON的長度，根據S△BMC=，可求a的值；

（3）過M點作ME∥AB，設NO=m，＝k，可以用m，k表示CO，EO，MD，ME，可求M點坐標，代入可得k，m，a的關系式，由CO=2km+m=-12a，可得方程組，解得k，即可求結果．

（1）設y=0，則0=ax2+ax﹣12a （a＜0），

∴x1=﹣4，x2=3，

∴A（﹣4，0），B（3，0）

（2）如圖1，作MD⊥x軸，

∵MD⊥x軸，OC⊥x軸，

∴MD∥OC，

∴=且NB=MN，

∴OB=OD=3，

∴D（﹣3，0），

∴當x=﹣3時，y=﹣6a，

∴M（﹣3，﹣6a），

∴MD=﹣6a，

∵ON∥MD

∴，

∴ON=﹣3a，

根據題意得：C（0，﹣12a），

∵S△MBC=，

∴（﹣12a+3a）×6=，

a=﹣，

（3）如圖2：過M點作ME∥AB，

∵ME∥AB，

∴∠EMB=∠ABM且∠CMB=2∠ABM，

∴∠CME=∠NME，且ME=ME，∠CEM=∠NEM=90°，

∴△CME≌△MNE，

∴CE=EN，

設NO=m，=k（k＞0），

∵ME∥AB，

∴==k，

∴ME=3k，EN=km=CE，

∴EO=km+m，

CO=CE+EN+ON=2km+m=﹣12a，

即，

∴M（﹣3k，km+m），

∴km+m=a（9k2﹣3k﹣12），

（k+1）×=（k+1）（9k﹣12），

∴=9k-12，

∴k=，

∴.