Question

【題目】(1)如圖①，已知線段，以為一邊作等邊 (尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)如圖②，已知，，，分別以為邊作等邊和等邊，連接，求的最大值；

(3)如圖③，已知，，，，為內部一點，連接，求出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5；（3）

【解析】

（1）首先分別以A,B為圓心，以線段AB長為半徑為半徑畫弧，兩弧的交點為C ，最后連接AB ,AC就行了；

（2）以點E為中心，將△ACE逆時針旋轉60°，則點C落在點B，點A落在點E′．連接AE′，CE′，當點E′、A、C在一條直線上時，AE有最大值．

（3）首先以點B為中心，將△ABP逆時針旋轉90°，則點A落在A′，點P落在P′，當A′、P′、P、C在一條直線上時，取得最小值，然后延長A′B，過點C作CD⊥A′B，利用勾股定理即可得解.

（1）如圖所示：

（2）根據題意，以點E為中心，將△ACE逆時針旋轉60°，則點C落在點B，點A落在點E′．連接AE′，CE′，當點E′、A、C在一條直線上時，AE有最大值，如圖所示：

∵E′B=AC，EE′=AE=AE′，，，

∴AE的最大值為3+2=5；

（3）以點B為中心，將△ABP逆時針旋轉90°，則點A落在A′，點P落在P′，當A′、P′、P、C在一條直線上時，取得最小值，延長A′B，過點C作CD⊥A′B于D，如圖所示：

由題意，得

∵A′B=AB=3，∠A′BA=90°，∠ABC=30°

∴∠A′BC=120°

∴∠CBD=60°

∵BC=4

∴BD=2，CD=

∴A′C==

故其最小值為.