Question

【題目】已知，在△PAB中，PA＝PB，經過A、B作⊙O．

（1）如圖1，連接PO，求證：PO平分∠APB；

（2）如圖2，點P在⊙O上，PA：AB＝：2，E是⊙O上一點，連接AE、BE．求tan∠AEB的值；

（3）如圖3，在（2）的條件下，AE經過圓心O，AE交PB于點F，過F作FG⊥BE于點G，EF+BG＝14，求線段OF的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

(1) 連接OA，OB，證明OP是AB的垂直平分線即可;

(2) 延長PO，交AB于H，過點A作AM⊥PB于M，由PH垂直平分AB和 PA：AB＝：2，設AB＝2，則AP＝BP＝，AH＝BH＝1，然后根據勾股定理和銳角的三角函數進行解答即可;

(3) 連接PO并延長，交AB于點H，由PH垂直平分AB，可得AE為直徑，設設FG＝3x，則EG＝4x，EF＝5x，再運用勾股定理和相似三角形知識進行解答即可.

（1）證明：連接OA，OB，

則OA＝OB，

又∵PA＝PB，

∴PO垂直平分AB，

∴PO平分∠APB；

（2）解：延長PO，交AB于H，過點A作AM⊥PB于M，

由（1）知PH垂直平分AB，

∵PA：AB＝：2，

∴設AB＝2，則AP＝BP＝，AH＝BH＝1，

∴在Rt△PAH中，

PH＝ ＝3，

∵S△PAB＝ABPH＝PBAM，

∴2×3＝×AM，

∴AM＝，

在Rt△PAM中，

PM＝＝，

∴tan∠APM＝＝：＝=，

∵∠AEB＝∠APM，

∴tan∠AEB＝；

（3）連接PO并延長，交AB于點H，由（1）知，PH垂直平分AB，

∵AE為直徑，在Rt△EFG中，tan∠FEG＝，

∴設FG＝3x，則EG＝4x，EF＝5x，

∵EF+BG＝14，

∴BG＝14﹣5x，

∴∠ABE＝90°＝∠AHP＝∠PHB，

∴PH∥EB，

∴∠HPB＝∠GBF，

∴△HPB∽△GBF，

∴，

∴，

解得，x＝1，

∴EF＝5，BE＝BG+EG＝9+4＝13，

∴AB＝BE＝，

∴AE＝ ，

∴OE＝AE＝，

∴OF＝OE﹣EF＝﹣5＝，

∴線段OF的長度為．