Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm.點(diǎn)P、Q是BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)Q在點(diǎn)P右邊)，PQ＝2cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.5s后點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)P、Q停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥BC交AB于點(diǎn)D，連接AP，設(shè)△ACP與△BQD的面積和為S(cm)，S與t的函數(shù)圖像如圖2所示.

(1)圖1中BC＝ cm，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為 cm/s；

(2)t為何值時(shí)，面積和S最小，并求出最小值；

(3)連接PD，以點(diǎn)P為圓心線段PD的長(zhǎng)為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與的邊相切時(shí)，求t的值.

Answer 1

【答案】（1）12 , 2；（2）當(dāng)t＝2時(shí)，面積和S最小，最小為21cm2. （3）當(dāng)t＝1或時(shí)⊙P與△ABC的邊相切

【解析】

（1）根據(jù)題意知，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，△ACP的面積為30，依據(jù)三角形面積公式可得PC的長(zhǎng)為10，由PQ=2得BC的長(zhǎng)為12，根據(jù)“速度=路程÷時(shí)間”可求出點(diǎn)P的速度；

（2）分別求出PC＝2t，BQ＝10－2t，DQ＝5－t，利用三角形面積公式得到二次函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行配方即可求出最值；

（3）分⊙P與AB邊和AC邊相切兩種情況進(jìn)行分類討論求解即可.

(1)當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，△ACP的面積=30，

∴

∵AC=6cm，

∴PC=10cm，

∴BC=PC+PQ=10+2=12cm，

∴點(diǎn)P的速度為：10÷5=2（cm/s）；

(2)由題可知PC＝2t，BQ＝12-2－2t=10-2t，

∵DQ⊥BC,AC⊥BC，

∴DQ∥AC，

∴△DQB∽△ACB，

∴，即

∴DQ＝5－t

∴S＝＝

∴當(dāng)t＝2時(shí)，面積和S最小，最小為21cm2.

(3)⊙P與BC邊不可能相切

i) ⊙P與AB邊相切時(shí)△PQD∽△ACB，

∴，

∴t＝1

ii)⊙P與AC邊相切時(shí)

在Rt△PQD中，，

∴

∴t＝或t＝(舍去)，

綜上當(dāng)t＝1或時(shí)⊙P與△ABC的邊相切.