Question

14．點P是矩形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A，C重合），分別過點A，C向直線BP作垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，點O為AC的中點．

（1）如圖1，當點P與點O重合時，請你判斷OE與OF的數(shù)量關(guān)系；
（2）當點P運動到如圖2所示位置時，請你在圖2中補全圖形并通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立；
（3）若點P在射線OA上運動，恰好使得∠OEF=30°時，猜想此時線段CF，AE，OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論不必證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及垂線，即可判定△AOE≌△COF（AAS），得出OE=OF；
（2）先延長EO交CF于點G，通過判定△AOE≌△COG（ASA），得出OG=OE，再根據(jù)Rt△EFG中，OF=$\frac{1}{2}$EG，即可得到OE=OF；
（3）根據(jù)點P在射線OA上運動，需要分兩種情況進行討論：當點P在線段OA上時，當點P在線段OA延長線上時，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系進行推導計算即可．

解答 解：（1）OE=OF．
理由：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；

（2）補全圖形如右圖2，OE=OF仍然成立．
證明：延長EO交CF于點G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠GCO，
又∵點O為AC的中點，
∴AO=CO，
在△AOE和△COG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠GCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=COG}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OG=OE，
∴Rt△EFG中，OF=$\frac{1}{2}$EG，
∴OE=OF；

（3）CF=OE+AE或CF=OE-AE．
證明：①如圖2，當點P在線段OA上時，
∵∠OEF=30°，∠EFG=90°，
∴∠OGF=60°，
由（2）可得，OF=OG，
∴△OGF是等邊三角形，
∴FG=OF=OE，
由（2）可得，△AOE≌△COG，
∴CG=AE，
又∵CF=GF+CG，
∴CF=OE+AE；

②如圖3，當點P在線段OA延長線上時，
∵∠OEF=30°，∠EFG=90°，
∴∠OGF=60°，
同理可得，△OGF是等邊三角形，
∴FG=OF=OE，
同理可得，△AOE≌△COG，
∴CG=AE，
又∵CF=GF-CG，
∴CF=OE-AE．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等邊三角形的性質(zhì)和判定，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形和證明三角形全等，利用矩形的對角線互相平分得全等的邊相等的條件，根據(jù)線段的和差關(guān)系使問題得以解決．