Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，Rt△ABO的邊AB垂直于x軸，垂足為點B，反比例函數y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的圖象經過AO的中點C，且與AB相交于點D，OB=4，AB=3．
（1）求反比例函數y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的解析式；
（2）設經過C，D兩點的一次函數解析式為y₂=k₂x+b，求出其解析式，并根據圖象直接寫出在第一象限內，當y₂＞y₁時，x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據OB、AB的長度可得出點A的坐標，由點C為線段OA的中點即可得出點C的坐標，根據點C的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出反比例函數解析式；
（2）由點D的橫坐標結合反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出點D的坐標，根據點C、D的坐標利用待定系數法即可求出一次函數解析式，再根據兩函數圖象的上下位置關系即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）∵OB=4，AB=3，點A在第一象限，
∴點A的坐標為（4，3），
∵點C為線段OA的中點，
∴點C的坐標為（2，$\frac{3}{2}$）．
∵點C在反比例函數y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k₁=2×$\frac{3}{2}$=3．
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{3}{x}$（x＞0）．
（2）當x=4時，y=$\frac{3}{4}$，
∴點D的坐標為（4，$\frac{3}{4}$）．
將C（2，$\frac{3}{2}$）、B（4，$\frac{3}{4}$）代入y₂=k₂x+b，
$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{2}+b=\frac{3}{2}}\\{4{k}_{2}+b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{3}{8}}\\{b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴一次函數解析式為y₂=-$\frac{3}{8}$x+$\frac{9}{4}$．
觀察函數圖象可知：當2＜x＜4時，一次函數圖象在反比例函數圖象的上方，
∴當y₂＞y₁時，x的取值范圍為2＜x＜4．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、反比例函數圖象上點的坐標特征以及待定系數法求函數解析式，根據點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵．