Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，過點O作弦AD的垂線交切線AC于點C，OC與圓O交于點E，連結BE、DE．

（1）若圓的半徑是3，∠EBA是30度，求AD的長度．

（2）求證：∠BED=∠C．

（3）若OA=5，AD=8，求切線AC的長．

Answer 1

【答案】（1）AD=3；（2）證明見解析；（3）AC=

【解析】試題分析：（1）由垂徑定理可得AF=DF，要求AD的長度，即要求AF的長度，由∠EBA=30°可以得出∠FOA=60°，進而得出∠FAO=30°，已知OA的長度結合30°余弦值，不難求出AF的長度，即可求出AD的長度；（2）要證∠BED=∠C即要證明∠DAB=∠C，由于∠C+∠CAF=90°，∠DAB+∠CAF=90°，不難證明；（3）連接BD，BD⊥AD，由勾股定理求出BD的長度，再由△OAC∽△BDA寫出對應邊的比值，即可求出AC的長度.

試題解析：

（1）解：∵∠EBA=30°，

∴∠AOF=60°，

∵OC⊥AD，

∴∠OAF=30°，AD=2AF，

∵AO=3，

∴AF=AO·cos30°=3×= ，

∴AD=2AF=3；

（2）

∵AC是⊙O的切線，AB是⊙O直徑，

∴AB⊥AC．

∴∠1+∠2=90°，

∵OC⊥AD，

∴∠1+∠C=90°，

∴∠C=∠2，

∵∠BED=∠2，

∴∠BED=∠C；

（3）解：連接BD，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ADB=90°，

∴BD= =6，

∴△OAC∽△BDA，

∴OA∶BD=AC∶DA，

即5：6=AC：8，

∴AC=.