Question

5．若一個正整數，它的各位數字是左右對稱的，則稱這個數是對稱數，如22，797，12021都是對稱數，最小的對稱數是11，沒有最大的對稱數，因為數位是無窮的．
（1）若將任意一個各位數字均不為零的四位對稱數分解為前兩位數所表示的數和后兩位數所表示的數，請你證明這兩個數的和一定能被11整除；
（2）若將一個三位對稱數$\overline{aba}$加上其各位數字之和（其中0＜a≤9，0≤b≤9），所得的結果能被13整除，求所有滿足條件的三位對稱數．

Answer 1

分析 （1）若四位數abba是一個各位數字均不為零的四位對稱數，它分解為兩位數所表示的數和后兩位數所表示的數為（10a+b）與（10b+a），則（10a+b）+10b+a=11a+11b=11（a+b），由此即可證明．
（2）三位對稱數$\overline{aba}$加上其各位數字之和為100a+10b+a+2a+b=103a+11b，由0＜a≤9，0≤b≤9，且103a+11b是13的倍數，用例舉法即可解決問題．

解答 解：（1）若四位數abba是一個各位數字均不為零的四位對稱數，
它分解為兩位數所表示的數和后兩位數所表示的數為（10a+b）與（10b+a），
所以（10a+b）+10b+a=11a+11b=11（a+b）
由于a、b均是整數，
所以分解后的兩數的和一定能被11整除；
（2）三位對稱數$\overline{aba}$加上其各位數字之和為100a+10b+a+2a+b=103a+11b，
∵0＜a≤9，0≤b≤9，且103a+11b是13的倍數，
可得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=7}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=9}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴滿足條件的三位數是161或353或545或737或898或929．

點評 本題考查因式分解的應用，數字問題等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用代數式解決問題，學會用例舉法解決問題，屬于中考常考題型．