Question

14．若直線y=2x+t-3與函數y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1（x≥1）}\\{{x}^{2}+2x-3（x＜1）}\end{array}\right.$的圖象有且只有兩個公共點時，則t的取值范圍是t=0或t＞1．

Answer 1

分析 畫出函數圖象，利用圖象分兩種情形討論即可．

解答 解：函數y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1（x≥1）}\\{{x}^{2}+2x-3（x＜1）}\end{array}\right.$的圖象如圖所示，A（1，0）．

當直線y=2x+t-3經過點A（1，0）時，直線與函數y的圖象有3個交點，此時0=2+t-3，解得t=1，
觀察圖象可知，t＞1時，直線y=2x+t-3與函數y的圖象有且只有兩個公共點，
當直線y=2x+t-3與y=x²-2x+1相切時，則有x²-4x-t+4=0，
∵△=0，
∴16-4t-16=0，
∴t=0，
此時直線為y=2x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y={x}^{2}+2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴直線與y=x²+2x-3只有一個交點，
∴t=0時，直線y=2x-3與函數y有兩個交點，
綜上所述，t＞1或t=0時，直線y=2x+t-3與函數y的圖象有且只有兩個公共點．
故答案為t=0或t＞1．

點評 本題考查二次函數的應用．一次函數的應用等知識，二元二次方組，根的判別式等知識，解題的關鍵是學會正確畫出圖象，利用圖象法解決問題，屬于中考常考題型．