Question

【題目】已知：如圖∠BAC的角平分線與BC的垂直平分線交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F．

（1）求證：BE＝CF；

（2）如果AB＝10，AC＝8，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BE＝1.

【解析】

（1）連接BD、CD，由垂直平分線的性質得出BD=CD，由角平分線的性質得出DE=DF，由HL證得Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得出結論；
（2）由HL證得Rt△ADE≌Rt△ADF，得出AE=AF，則AB-BE=AC+CF，推出BE+CF=AB-AC=2，由BE=CF，即可得出結果．

（1）證明：連接BD、CD，如圖所示：

∵BC的垂直平分線過點D，

∴BD＝CD，

∵點D是∠BAC的角平分線上的點，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

在Rt△BDE和Rt△CDF中， ，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴BE＝CF；

（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中， ，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE＝AF，

∴AB﹣BE＝AC+CF，

∴BE+CF＝AB﹣AC＝10﹣8＝2，

∵BE＝CF，

∴．