Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx（a≠0）過點E（10，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點A在點B的左邊），點C，D在拋物線上．設A（t，0），當t=2時，AD=4．

（1）求拋物線的函數表達式．

（2）當t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線．當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線GH平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數表達式為y=﹣x2+x；（2）當t=1時，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為；（3）拋物線向右平移的距離是4個單位．

【解析】（1）由點E的坐標設拋物線的交點式，再把點D的坐標（2，4）代入計算可得；

（2）由拋物線的對稱性得BE=OA=t，據此知AB=10-2t，再由x=t時AD=-t2+t，根據矩形的周長公式列出函數解析式，配方成頂點式即可得；

（3）由t=2得出點A、B、C、D及對角線交點P的坐標，由直線GH平分矩形的面積知直線GH必過點P，根據AB∥CD知線段OD平移后得到的線段是GH，由線段OD的中點Q平移后的對應點是P知PQ是△OBD中位線，據此可得．

（1）設拋物線解析式為y=ax（x-10），

∵當t=2時，AD=4，

∴點D的坐標為（2，4），

∴將點D坐標代入解析式得-16a=4，

解得：a=-，

拋物線的函數表達式為y=-x2+x；

（2）由拋物線的對稱性得BE=OA=t，

∴AB=10-2t，

當x=t時，AD=-t2+t，

∴矩形ABCD的周長=2（AB+AD）

=2[（10-2t）+（-t2+t）]

=-t2+t+20

=-（t-1）2+，

∵-＜0，

∴當t=1時，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為；

（3）如圖，

當t=2時，點A、B、C、D的坐標分別為（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），

∴矩形ABCD對角線的交點P的坐標為（5，2），

當平移后的拋物線過點A時，點H的坐標為（4，4），此時GH不能將矩形面積平分；

當平移后的拋物線過點C時，點G的坐標為（6，0），此時GH也不能將矩形面積平分；

∴當G、H中有一點落在線段AD或BC上時，直線GH不可能將矩形的面積平分，

當點G、H分別落在線段AB、DC上時，直線GH過點P必平分矩形ABCD的面積，

∵AB∥CD，

∴線段OD平移后得到的線段GH，

∴線段OD的中點Q平移后的對應點是P，

在△OBD中，PQ是中位線，

∴PQ=OB=4，

所以拋物線向右平移的距離是4個單位．