Question

【題目】如圖1所示是小明設計的帶菱形圖案的花邊作品，該作品由形如圖2所示的矩形圖案拼接而成(不重疊，無縫隙)，小明發現圖（2）具有對稱之美，它既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，并對這個圖形進行探究．

（1）如圖3，若知圖案的一部分，請你根據如圖2將圖3的圖案補充完整(要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；

（2）如圖4，，，上、下兩個陰影部分的面積之和為，其內部菱形由兩組距離相等的平行線兩兩相交得到，求該菱形的周長；

（3）小明認為：圖4中的4個空白部分在一定條件下能拼成一個正方形(不重疊，無縫隙)，請你幫助小明寫出應滿足的條件(提示：求出與的長度之比，并指出點、的位置)．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）先做出最上方的三角形，然后將上下兩個三角形的邊分別延長即可；

（2）設出AB=，BC=，表示出MN，及NP+MQ，表示出上下陰影面積之和，求得，利用勾股定理求得BE，利用求得EH，MH，得菱形周長；

（3）設，，根據中間為正方形表示FH，AM及HM，利用

計算出與比值即可．

（1）尺規作圖，如圖所示：

（2）∵，，

∴設，，

∴，，

∴，

∴，

∴

解得，∴，(舍)，

∴，， ，，

又∵，

∴即，

∴，

∴，

∴

（3）由題意得

，，四邊形為直角梯形且

設，，

∴，，，

∴

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，∴

即即