Question

18．如圖1，在△ABC和△MNB中，∠ACB=∠MBN=90°，AC=BC=4，MB=NB=$\frac{1}{2}$BC，點N在BC邊上，連接AN，CM，點E，F，D，G分別為AC，AN，MN，CM的中點，連接EF，FD，DG，EG．
（1）判斷四邊形EFDG的形狀，并證明；
（2）如圖2，將圖1中的△MBN繞點B逆時針旋轉90°，其他條件不變，猜想此時四邊形EFDG的形狀，并證明．

Answer 1

分析 （1）四邊形EFDG是平行四邊形，理由為：如圖1，連接AM，由E、F、G、H分別為中點，利用利用中位線定理得到兩組對邊相等，即可得證；
（2）四邊形EFDG為正方形，理由為：如圖2，連接CN，AM，分別交EF、CN于點L與K，由CB-BM求出CM的長，得到CM=BN，再由一對直角相等，AC=BC，利用SAS得到三角形ACM與三角形CBN全等，利用全等三角形對應邊、對應角相等得到AM=CN，∠CAM=∠BCN，利用同角的余角相等，求出∠AKC為直角，利用兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形得到四邊形EFDG為平行四邊形，再由一個內角為直角，且鄰邊相等即可得證．

解答 解：（1）四邊形EFDG是平行四邊形，
理由：如圖1，連接AM，
∵E、F、D、G分別為AC、AN、MN、CM的中點，
∴FD=EG=$\frac{1}{2}$AM，EF=GD=$\frac{1}{2}$CN，
∴四邊形EFDG是平行四邊形；

（2）四邊形EFDG是正方形，
理由：如圖2，連接CN，AM，分別交EF、CN于點L與K，
由已知得：點M和點D分別落在BC與AB邊上，
∴CM=CB-BM=4-2=2，
∴CM=BN，
∵∠ACM=∠CBN=90°，AC=BC，
∴△ACM≌△CBN（SAS），
∴AM=CN，∠CAM=∠BCN，
∵∠ACK+∠KCM=90°，
∴∠ACK+∠CAK=90°，
在△ACK中，∠AKC=180°-（∠ACK+∠CAK）=180°-90°=90°，
由（1）可得EG∥AM∥FD，EF∥CN∥GD，
∴四邊形EFDG是平行四邊形，
∴∠GEL=∠ELA=∠AKC=90°，
∴四邊形EFDG是矩形，
∵EG=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$CN=EF，
∴四邊形EFDG是正方形．

點評 此題考查的是旋轉的性質，涉及的知識有：平行四邊形的判定與性質，正方形的判定，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，三角形中位線定理，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．