Question

【題目】如圖，點是等邊三角形內一點，連接，，，，．以為頂點，為一邊，在外部作，且，連接，．

（1）求證：；

（2）根據推理可得__________，__________；（用含的代數式表示）

（3）探究：當為多少度時，是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），；（3）為125°或110°或140°．

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質求出，，然后利用SAS定理證得，然后根據全等三角形的和等式的性質可求，，從而判定△OCD是等邊三角形，從而求解；

（2）根據∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD求解；根據全等三角形的性質可知∠ADC=∠BOC=α，又由等邊三角形的性質可得∠ODC=60°，從而求出∠ODA的度數；

（3）分三種情況討論，利用已知條件及等腰三角形的性質即可求解．

解：（1）為等邊三角形，

，．

又，，

，，，

又，

是等邊三角形．

．

（2）由題意可知：∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD且，

又由（1）可知是等邊三角形．

∴∠COD=60°

∴∠AOD=360°-110°-α-60°=190°-α；

由（1）可知：且是等邊三角形

∴∠ADC=∠BOC=α且∠ODC=60°

∴∠ADC=∠BOC-∠ODC=α-60°

故答案為：；；

（3）解：①當時，，

即，

解，得．

②當時，，

，

即，

，

解，得．

③當時，，

即，

解，得．

當為125°或110°或140°時，是等腰三角形．