Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O是AC邊上一動點，過點O作BC的平行線交∠ACB的角平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F

（1）求證：EO＝FO；

（2）當(dāng)點O運動到何處時，四邊形CEAF是矩形？請證明你的結(jié)論．

（3）在第（2）問的結(jié)論下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，請直接寫出凹四邊形ABCE的面積為　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當(dāng)點O運動到AC的中點時，四邊形CEAF是矩形，理由詳見解析；（3）24．

【解析】

（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠OEC＝∠OCE，證出EO＝CO，同理得出FO＝CO，即可得出EO＝FO；

（2）由對角線互相平分證明四邊形CEAF是平行四邊形，再由對角線相等即可得出結(jié)論；

（3）先根據(jù)勾股定理求出AC，得出△ACE的面積＝AE×EC，再由勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面積＝ABAC，凹四邊形ABCE的面積＝△ABC的面積﹣△ACE的面積，即可得出結(jié)果．

（1）證明：∵EF∥BC，

∴∠OEC＝∠BCE，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE＝∠OCE，

∴∠OEC＝∠OCE，

∴EO＝CO，

同理：FO＝CO，

∴EO＝FO；

（2）解：當(dāng)點O運動到AC的中點時，四邊形CEAF是矩形；理由如下：

由（1）得：EO＝FO，

又∵O是AC的中點，

∴AO＝CO，

∴四邊形CEAF是平行四邊形，

∵EO＝FO＝CO，

∴EO＝FO＝AO＝CO，

∴EF＝AC，

∴四邊形CEAF是矩形；

（3）解：由（2）得：四邊形CEAF是矩形，

∴∠AEC＝90°，

∴AC＝＝＝5，

△ACE的面積＝AE×EC＝×3×4＝6，

∵122+52＝132，

即AB2+AC2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，

∴△ABC的面積＝ABAC＝×12×5＝30，

∴凹四邊形ABCE的面積＝△ABC的面積﹣△ACE的面積＝30﹣6＝24；

故答案為：24．