Question

【題目】如圖，C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在AB的同側作等邊△HAC與等邊△DCB，連接DH．
（1）如圖1，當∠DHC=90°時，求 的值；
（2）在（1）的條件下，作點C關于直線DH的對稱點E，連接AE、BE，求證：CE平分∠AEB；
（3）現將圖1中△DCB繞點C順時針旋轉一定角度α（0°＜α＜90°），如圖2，點C關于直線DH的對稱點為E，則（2）中的結論是否成立并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△HAC與△DCB都是等邊三角形，

∴∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，

∴∠HCD=180°﹣∠ACH﹣∠DCB=60°，

∵∠DHC=90°，

∴∠HDC=180°﹣∠DHC﹣∠HCD=30°，

∴CD=2CH，

∴BC=2AC，

∴ =2；

（2）解：如圖1，

由對稱性得∠EHD=90°，EH=HC，

∵AH=HC，

∴EH=AH，

∵∠DHC=90°，

∴E，H，C三點共線，

∴∠AEC= ∠AHC=30°，

由（1）可得BC=2CH=EC，

∴∠BEC= ∠ACE=30°，

∴∠AEC=∠BEC，即CE平分∠AEB；

（3）解：結論仍然正確，理由如下：

如圖2，

由對稱性可知：HC=HE，

又∵AH=HC，

∴HC=HA=HE，

∵A，C，E都在以H為圓心，HA為半徑的圓上，

∴∠AEC= ∠AHC=30°，

同理可得，∠BEC= ∠BDC=30°，

∴∠AEC=∠BEC，

∴EC平分∠AEB．

【解析】（1）根據△HAC與△DCB都是等邊三角形，可得∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，進而得出∠HDC=180°﹣∠DHC﹣∠HCD=30°，得出CD=2CH，即可得到BC=2AC，最后求得 的值；（2）先由對稱性得∠EHD=90°，EH=HC，根據E，H，C三點共線，以及三角形外角性質，得出∠AEC= ∠AHC=30°，由（1）可得BC=2CH=EC，得出∠BEC= ∠ACE=30°，即可得出CE平分∠AEB；（3）由對稱性可知：HC=HE，進而得出A，C，E都在以H為圓心，HA為半徑的圓上，據此得到∠AEC= ∠AHC=30°，而同理可得，∠BEC= ∠BDC=30°，最后得出EC平分∠AEB．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等邊三角形的性質的相關知識，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°，以及對圓周角定理的理解，了解頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．