Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+mx+4m與x軸交于點A(，0）和點B(，0)，與y軸交于點C，，若對稱軸在y軸的右側．

（1）求拋物線的解析式

（2）在拋物線的對稱軸上取一點M，使|MC-MB|的值最大；

（3）點Q是拋物線上任意一點，過點Q作PQ⊥x軸交直線BC于點P，連接CQ，當△CPQ是等腰三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x-4；（2）M(1，-6)；（3）P1 ()，P2(2，-2)，P3()．

【解析】

（1）利用根與系數的關系即可求出m，結合對稱軸在y軸右側可得結果；

（2）根據點A和點B關于對稱軸對稱，過點AC作直線交對稱軸于點M，求出A，B，C的坐標，求出AC的表達式，得到點M的坐標即可；

（3）分PC=PQ，QC=QP，CP=CQ分別討論，求出相應x值即可.

解：（1）∵y=x2+mx+4m與x軸交于，0)和點B(，0)，

∴是方程x2+mx+4m=0的兩個根，

，

，

∴(-2m)2-16m=20，

解得m1=5，m2=-1，

∵對稱軸在y軸的右側，

∴m=-1，

∴y=-x-4；

（2）y=-x-4中，當x=0時，y=-4，

當y=0時=-2，=4，

∴A(-2，0)，B(4，0)，C(0，-4)，

過點AC作直線交對稱軸于點M，

設直線AC的解析式為y=kx+b，

將(-2，0)，(0，-4)代入，

則，

解得，

得y=-2x-4，當x=1時，y=-6，

∴M(1，-6)；

（3）直線BC的解析式為y=k1x+b1，

將(4，0)，(0，-4)代入，

則，

解得，

得y=x-4，

∴∠OCB=∠OBC=45°，

設P的橫坐標為x，作PH⊥y軸于H，

則PC=，

∴PQ=|(x-4)--x-4）|

（圖一） （圖二）

如圖一圖二，當CQ=CP時，(x-4)+-x-4）=-8，

x=0，不合題意，所以不存在；

（圖三） （圖四） （圖五）

如圖三，當PC=PQ時，=(x-4)- -x-4），

解得x=，

∴P()

如圖四，當CQ=PQ時，x=(x-4)- -x-4），

解得x=2，

∴P(2，-2)；

如圖五，當PC=PQ時 ，

-x-4）-(x-4)=，

解得：x=，

∴P()；

綜上：P1() ，P2(2，-2)，P3().